Периодические десятичные дроби. Периодические и непериодические дроби

Тот факт, что многие квадратные корни являются иррациональными числами , нисколько не умаляет их значения, в частности, число $\sqrt2$ очень часто используется в различных инженерных и научных расчетах. Это число можно вычислить с той точностью, которая необходима в каждом конкретном случае. Вы можете получить это число с таким количеством знаков после запятой, на которое у вас хватит терпения.

Например, число $\sqrt2$ можно определить с точностью до шести десятичных знаков: $\sqrt2=1,414214$. Эта величина не очень сильно отличается от истинного значения, поскольку $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Этот ответ отличается от 2 на величину, едва превышающую одну миллионную. Поэтому значение $\sqrt2$, равное $1,414214$, считается вполне приемлемым для решения большинства практических задач. В том случае, когда требуется большая точность, нетрудно получить столько значащих цифр после запятой, сколько необходимо в данном случае.

Однако если вы проявите редкостное упрямство и попробуете извлекать квадратный корень из числа $\sqrt2$ до тех пор, пока не добьетесь точного результата, вы никогда не закончите своей работы. Это бесконечный процесс. Сколько бы десятичных знаков после запятой вы ни получили, всегда останется еще несколько.

Этот факт может поразить вас так же сильно, как и превращение $\frac13$ в бесконечную десятичную дробь $0,333333333…$ и так бесконечно или превращение $\frac17$ в $0,142857142857142857…$ и так далее бесконечно. На первый взгляд может показаться, что эти бесконечные и иррациональные квадратные корни - это явления одного порядка, но это совсем не так. Ведь у этих бесконечных дробей есть дробный эквивалент, в то время как у $\sqrt2$ такого эквивалента нет. А почему, собственно? Дело в том, что десятичным эквивалентом $\frac13$ и $\frac17$, а также бесконечного числа других дробей являются периодические бесконечные дроби.

В то же время десятичный эквивалент $\sqrt2$ является непериодической дробью. Это утверждение справедливо также для любого иррационального числа.

Проблема заключается в том, что любая десятичная дробь, которая является приближенным значением корня квадратного из 2, представляет собой непериодическую дробь . Как далеко мы ни продвинемся в расчетах, любая дробь, которую мы получим, будет непериодической.

Представьте себе дробь с огромным количеством непериодических цифр после запятой. Если вдруг после миллионной цифры вся последовательность десятичных знаков повторится, значит, десятичная дробь - периодическая и для нее существует эквивалент в виде отношения целых чисел. Если у дроби с огромным количеством (миллиарды или миллионы) непериодических десятичных знаков в какой-то момент появляется бесконечная серия повторяющихся цифр, например $…55555555555…$, это также означает, что данная дробь - периодическая и для нее существует эквивалент в виде отношения целых чисел.

Однако в случае их десятичные эквиваленты полностью непериодические и не могут превратиться в периодические.

Разумеется, вы можете задать следующий вопрос: «А кто может знать и сказать наверняка, что происходит с дробью, скажем, после триллионного знака? Кто может гарантировать, что дробь не станет периодической?» Существуют способы неопровержимо доказать, что иррациональные числа являются непериодическими, но такие доказательства требуют сложного математического аппарата. Но если бы вдруг оказалось, что иррациональное число становится периодической дробью , это означало бы полный крах основ математических наук. И на самом деле это вряд ли возможно. Это вам не просто на костяшки перекидывать со стороны на сторону, здесь сложная математическая теория.

Как известно, множество рациональных чисел (Q) включает в себя множества целых чисел (Z), которое в свою очередь включает множество натуральных чисел (N). Помимо целых чисел в рациональные числа входят дроби.

Почему же тогда все множество рациональных чисел рассматривают иногда как бесконечные десятичные периодические дроби? Ведь кроме дробей, они включают и целые числа, а также непериодические дроби.

Дело в том, что все целые числа, а также любую дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. То есть для всех рациональных чисел можно использовать одинаковый способ записи.

Как представляется бесконечная периодическая десятичная дробь? В ней повторяющуюся группу цифр после запятой берут в скобки. Например, 1,56(12) - это дробь, у которой повторяется группа цифр 12, т. е. дробь имеет значение 1,561212121212... и так без конца. Повторяющаяся группа цифр называется периодом.

Однако в подобном виде мы можем представить любое число, если будем считать его периодом цифру 0, которая также повторяется без конца. Например, число 2 - это то же самое, что 2,00000.... Следовательно, его можно записать в виде бесконечной периодической дроби, т. е. 2,(0).

То же самое можно сделать и с любой конечной дробью. Например:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Однако на практике не используют преобразование конечной дроби в бесконечную периодическую. Поэтому разделяют конечные дроби и бесконечные периодические. Таким образом, правильнее говорить, что к рациональным числам принадлежат

• все целые числа,
• конечные дроби,
• бесконечные периодические дроби.

При этом просто помнят, что целые числа и конечные дроби представимы в теории в виде бесконечных периодических дробей.

С другой стороны, понятия конечной и бесконечной дроби употребимы к десятичным дробям. Если говорить об обыкновенных дробях, то как конечную, так и бесконечную десятичную дробь можно однозначно представить в виде обыкновенной дроби. Значит, с точки зрения обыкновенных дробей, периодические и конечные дроби - это одно и то же. Кроме того, целые числа также могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, если представить, что мы делим это число на 1.

Как представить десятичную бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной? Чаще используют примерно такой алгоритм:

1. Приводят дробь к виду, чтобы после запятой оказался только период.
2. Умножают бесконечную периодическую дробь на 10 или 100 или … так, чтобы запятая передвинулась вправо на один период (т. е. один период оказался в целой части).
3. Приравнивают исходную дробь (a) переменной x, а полученную путем умножения на число N дробь (b) - к Nx.
4. Из Nx вычитают x. Из b вычитаю a. Т. е. составляют уравнение Nx – x = b – a.
5. При решении уравнения получается обыкновенная дробь.

Пример перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
x =

Уже в начальной школе учащиеся сталкиваются с дробями. И потом они появляются в каждой теме. Забывать действия с этими числами нельзя. Поэтому нужно знать всю информацию про обыкновенные и десятичные дроби. Понятия эти несложные, главное - разбираться во всем по порядку.

Зачем нужны дроби?

Окружающий нас мир состоит из целых предметов. Поэтому в долях необходимости нет. Зато повседневная жизнь постоянно наталкивает людей на работу с частями предметов и вещей.

Например, шоколад состоит из нескольких долек. Рассмотрим ситуацию, когда его плитка образована двенадцатью прямоугольниками. Если ее разделить на двоих, то получится по 6 частей. Она хорошо разделится и на троих. А вот пятерым не удастся дать по целому числу долек шоколада.

Кстати, эти дольки - уже дроби. А дальнейшее их деление приводит к появлению более сложных чисел.

Что такое «дробь»?

Это число, состоящее из частей единицы. Внешне оно выглядит как два числа, разделенные горизонтальной или наклонной чертой. Эта черта носит название дробной. Число, записанное сверху (слева), называется числителем. То, что стоит снизу (справа), является знаменателем.

По сути, дробная черта оказывается знаком деления. То есть числитель можно назвать делимым, а знаменатель — делителем.

Какие существуют дроби?

В математике их имеется всего два вида: обыкновенные и десятичные дроби. С первыми школьники знакомятся в начальных классах, называя их просто «дроби». Вторые узнают в 5 классе. Именно тогда появляются эти названия.

Обыкновенные дроби — все те, что записываются в виде двух чисел, разделенных чертой. Например, 4/7. Десятичная — это число, в котором дробная часть имеет позиционную запись и отделяется от целой при помощи запятой. К примеру, 4,7. Учащимся нужно четко уяснить, что два приведенных примера — это совершенно разные числа.

Каждую простую дробь можно записать в виде десятичной. Это утверждение почти всегда верно и в обратном направлении. Существуют правила, которые позволяют записать обыкновенной дробью десятичную дробь.

Какие подвиды имеют указанные виды дробей?

Начать лучше в хронологическом порядке, так как они изучаются. Первыми идут обыкновенные дроби. Среди них можно выделить 5 подвидов.

Правильная. Ее числитель всегда меньше знаменателя.

Неправильная. У нее числитель больше или равен знаменателю.

Сократимая/несократимая. Она может оказаться как правильной, так и неправильной. Важно другое, есть ли у числителя со знаменателем общие множители. Если имеются, то на них полагается разделить обе части дроби, то есть сократить ее.

Смешанная. К ее привычной правильной (неправильной) дробной части приписывается целое число. Причем оно всегда стоит слева.

Составная. Она образуется из двух разделенных друг на друга дробей. То есть в ней насчитывается сразу три дробные черты.

У десятичных дробей есть всего два подвида:

конечная, то есть та, у которой дробная часть ограничена (имеет конец);

бесконечная — число, у которого цифры после запятой не заканчиваются (их можно писать бесконечно).

Как переводить десятичную дробь в обыкновенную?

Если это конечное число, то применяется ассоциация, основанная на правиле — как слышу, так пишу. То есть нужно правильно прочитать ее и записать, но уже без запятой, а с дробной чертой.

В качестве подсказки о необходимом знаменателе, нужно запомнить, что он всегда единица и несколько нулей. Последних нужно написать столько, сколько цифр в дробной части рассматриваемого числа.

Как перевести десятичные дроби в обыкновенные, если их целая часть отсутствует, то есть равна нулю? Например, 0,9 или 0,05. После применения указанного правила, получается, что нужно написать ноль целых. Но оно не указывается. Остается записать только дробные части. У первого числа знаменатель будет равен 10, у второго — 100. То есть указанные примеры ответами будут иметь числа: 9/10, 5/100. Причем последнее оказывается можно сократить на 5. Поэтому результатом для нее нужно записать 1/20.

Как из десятичной дроби сделать обыкновенную, если ее целая часть отлична от нуля? Например, 5,23 или 13,00108. В обоих примерах читается целая часть и записывается ее значение. В первом случае это — 5, во втором — 13. Потом нужно переходить к дробной части. С ними полагается провести ту же операцию. У первого числа появляется 23/100, у второго — 108/100000. Второе значение снова нужно сократить. В ответе получаются такие смешанные дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как перевести бесконечную десятичную дробь в обыкновенную?

Если она является непериодической, то такую операцию провести не удастся. Этот факт связан с тем, что каждая десятичная дробь всегда переводится или в конечную или в периодическую.

Единственное, что допускается делать с такой дробью, — это округлять ее. Но тогда десятичная будет приблизительно равно той бесконечной. Ее уже можно превратить в обыкновенную. Но обратный процесс: перевод в десятичную — никогда не даст начального значения. То есть бесконечные непериодические дроби в обыкновенные не переводятся. Это нужно запомнить.

Как записать бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной?

В этих числах после запятой всегда появляются одна или несколько цифр, которые повторяются. Их называют периодом. Например, 0,3(3). Здесь «3» в периоде. Их относят к классу рациональных, так как могут быть преобразованы в обыкновенные дроби.

Тем, кто встречался с периодическими дробями, известно, что они могут быть чистыми или смешанными. В первом случае период начинается сразу от запятой. Во втором — дробная часть начинается с каких-либо цифр, а потом начинается повтор.

Правило, по которому нужно записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную, будет разным для указанных двух видов чисел. Чистые периодические дроби записать обыкновенными достаточно просто. Как с конечными, их нужно преобразовать: в числитель записать период, а знаменателем будет цифра 9, повторяющаяся столько раз, сколько цифр содержит период.

Например, 0,(5). Целой части у числа нет, поэтому сразу нужно приступать к дробной. В числитель записать 5, а в знаменатель одну 9. То есть ответом будет дробь 5/9.

Правило о том, как записать обыкновенной десятичную периодическую дробь, являющуюся смешанной.

Посмотреть на длину периода. Столько 9 будет иметь знаменатель.

Записать знаменатель: сначала девятки, потом нули.

Чтобы определить числитель, нужно записать разность двух чисел. Уменьшаемым будут все цифры после запятой, вместе с периодом. Вычитаемым — оно же без периода.

Например, 0,5(8) - запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной. В дробной части до периода стоит одна цифра. Значит ноль будет один. В периоде тоже только одна цифра — 8. То есть девятка одна. То есть в знаменателе нужно написать 90.

Для определения числителя из 58 нужно вычесть 5. Получается 53. Ответом к примеру придется записать 53/90.

Как переводятся обыкновенные дроби в десятичные?

Самым простым вариантом оказывается число, в знаменателе которого стоит число 10, 100 и прочее. Тогда знаменатель просто отбрасывается, а между дробной и целой частями ставится запятая.

Бывают ситуации, когда знаменатель легко превращается в 10, 100 и т. д. Например, числа 5, 20, 25. Их достаточно умножить на 2, 5 и 4 соответственно. Только умножать полагается не только знаменатель, но и числитель на то же число.

Для всех остальных случаев пригодится простое правило: разделить числитель на знаменатель. В этом случае может получиться два варианта ответов: конечная или периодическая десятичная дробь.

Действия с обыкновенными дробями

Сложение и вычитание

С ними учащиеся знакомятся раньше других. Причем сначала у дробей одинаковые знаменатели, а потом разные. Общие правила можно свести к такому плану.

Найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Записать дополнительные множители ко всем обыкновенным дробям.

Умножить числители и знаменатели на определенные для них множители.

Сложить (вычесть) числители дробей, а общий знаменатель оставить без изменения.

Если числитель уменьшаемого меньше вычитаемого, то нужно выяснить, перед нами смешанное число или правильная дробь.

В первом случае у целой части нужно занять единицу. К числителю дроби прибавить знаменатель. А потом выполнять вычитание.

Во втором — необходимо применить правило вычитания из меньшего числа большее. То есть из модуля вычитаемого вычесть модуль уменьшаемого, а в ответ поставить знак «-».

Внимательно посмотреть на результат сложения (вычитания). Если получилась неправильная дробь, то полагается выделить целую часть. То есть разделить числитель на знаменатель.

Умножение и деление

Для их выполнения дроби не нужно приводить к общему знаменателю. Это упрощает выполнение действий. Но в них все равно полагается следовать правилам.

При умножении обыкновенных дробей необходимо рассмотреть числа в числителях и знаменателях. Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, то их можно сократить.

Перемножить числители.

Перемножить знаменатели.

Если получилась сократимая дробь, то ее полагается снова упростить.

При делении нужно сначала заменить деление на умножение, а делитель (вторую дробь) — на обратную дробь (поменять местами числитель и знаменатель).

Потом действовать, как при умножении (начиная с пункта 1).

В заданиях, где умножить (делить) нужно на целое число, последнее полагается записать в виде неправильной дроби. То есть со знаменателем 1. Потом действовать, как было описано выше.



Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание

Конечно, всегда можно превратить десятичную дробь в обыкновенную. И действовать по уже описанному плану. Но иногда удобнее действовать без этого перевода. Тогда правила для их сложения и вычитания будут совершенно одинаковыми.

Уравнять число цифр в дробной части числа, то есть после запятой. Приписать в ней недостающее количество нулей.

Записать дроби так, чтобы запятая оказалась под запятой.

Сложить (вычесть) как натуральные числа.

Снести запятую.

Умножение и деление

Важно, что здесь не нужно дописывать нули. Дроби полагается оставлять в том виде, как они даны в примере. А дальше идти по плану.

Для умножения нужно написать дроби одна под другой, не обращая внимание на запятые.

Умножить, как натуральные числа.

Поставить в ответе запятую, отсчитав от правого конца ответа столько цифр, сколько их стоит в дробных частях обоих множителей.

Для деления нужно сначала преобразовать делитель: сделать его натуральным числом. То есть умножить его на 10, 100 и т. д., в зависимости от того, сколько цифр в дробной части делителя.

На то же число умножить делимое.

Разделить десятичную дробь на натуральное число.

Поставить в ответе запятую в тот момент, когда закончится деление целой части.



Как быть, если в одном примере есть оба вида дробей?

Да в математике часто встречаются примеры, в которых нужно выполнить действия над обыкновенными и десятичными дробями. В таких заданиях возможны два пути решения. Нужно объективно взвесить числа и выбрать оптимальный.

Первый путь: представить обыкновенные десятичными

Он подходит, если при делении или переводе получаются конечные дроби. Если хотя бы одно число дает периодическую часть, то этот прием применять запрещено. Поэтому, даже если не нравится работать с обыкновенными дробями, придется считать их.

Второй путь: записать десятичные дроби обыкновенными

Этот прием оказывается удобным, если в части после запятой стоят 1-2 цифры. Если их больше, может получиться очень большая обыкновенная дробь и десятичные записи позволят сосчитать задание быстрее и проще. Поэтому всегда нужно трезво оценивать задание и выбирать самый простой метод решения.

Известно, что если знаменатель п несократимой дроби в своем каноническом разложении имеет простой множитель не равный 2 и 5, то эта дробь не представима в виде конечной десятичной дроби. Если мы попытаемся в этом случае записать исходную несократимую дробь в виде десятичной, производя деление числителя на знаменатель, то процесс деления закончиться не может, т.к. в случае его завершения через конечное число шагов, мы получили бы в частном конечную десятичную дробь, что противоречит ранее доказанной теореме. Так что в этом случае десятичная запись положительного рационального числа а = представляется бесконечной дробью.

Например, дробь = 0,3636... . Легко заметить, что остатки при делении 4 на 11 периодически повторяются, следовательно, и десятичные знаки будут периодически повторяться, т.е. получается бесконечная периодическая десятичная дробь , которую можно записать так 0,(36).

Периодически повторяющиеся цифры 3 и 6 образуют период. Может оказаться, что между запятой и началом первого периода стоит несколько цифр. Эти цифры образуют предпериод. Например,

0,1931818... Процесс деления 17 на 88 бесконечен. Цифры 1, 9, 3 образуют предпериод; 1, 8 – период. Рассмотренные нами примеры отражают закономерность, т.е. любое положительное рациональное число представимо либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

Теорема 1. Пусть обыкновенная дробь несократима и в каноническом разложении знаменателя n есть простой множитель отличный от 2 и 5. Тогда обыкновенная дробь представима бесконечной периодической десятичной дробью.

Доказательство. Мы уже знаем, что процесс деления натурального числа m на натуральное число n будет бесконечным. Покажем, что он будет периодическим. В самом деле, при делении m на n будут получаться остатки, меньшие n, т.е. числа вида 1, 2, ..., (n – 1), откуда видно, что количество различных остатков конечно и потому, начиная с некоторого шага какой-то остаток повторится, что повлечет за собой повторение десятичных знаков частного, и бесконечная десятичная дробь становится периодической.

Имеют место еще две теоремы.

Теорема 2. Если в разложение знаменателя несократимой дроби на простые множители не входят цифры 2 и 5, то при обращении этой дроби в бесконечную десятичную дробь получится чистая периодическая дробь, т.е. дробь, период которой начинается сразу же после запятой.

Теорема 3. Если же в разложение знаменателя входят множители 2 (или 5) или тот и другой, то бесконечная периодическая дробь будет смешанной, т.е. между запятой и началом периода будет несколько цифр (предпериод), а именно столько, каков больший из показателей степеней множителей 2 и 5.

Теоремы 2 и 3 предлагается доказать читателю самостоятельно.

28. Способы перехода от бесконечных периодических
десятичных дробей к дробям обыкновенным

Пусть дана периодическая дробь а = 0,(4), т.е. 0,4444... .

Умножим а на 10, получим

10а = 4,444…4…Þ 10а = 4 + 0,444….

Т.е. 10а = 4 + а , получили уравнение относительно а , решив его, получим: 9а = 4 Þ а = .

Замечаем, что 4 – одновременно и числитель полученной дроби и период дроби 0,(4).

Правило обращения в обыкновенную дробь чистой периодической дроби формулируется так: числитель дроби равен периоду, а знаменатель состоит из такого числа девяток, сколько цифр в периоде дроби.

Докажем теперь это правило для дроби, период которой состоит из п

а = . Умножим а на 10 n , получим:

10 n × а = = + 0, ;

10 n × а = + a ;

(10 n – 1) а = Þ a = = .

Итак, сформулированное ранее правило, доказано для любой чистой периодической дроби.

Пусть теперь дана дробь а = 0,605(43) – смешанная периодическая. Умножим а на 10 с таким показателем, сколько цифр в предпериоде, т.е. на 10 3 , получим

10 3 × а = 605 + 0,(43) Þ 10 3 × а = 605 + = 605 + = = ,

т.е. 10 3 × а = .

Правило обращения в обыкновенную дробь смешанной периодической дроби формулируется так: числитель дроби равен разности между числом, записанным цифрами, стоящими до начала второго периода, и числом, записанным цифрами стоящими до начала первого периода, знаменатель состоит из такого числа девяток, сколько цифр в периоде и такого числа нулей сколько цифр стоит до начала первого периода.

Докажем теперь это правило для дроби, предпериод которой состоит из п цифр, а период из к цифр. Пусть дана периодическая дробь

Обозначим в = ; r = ,

с = ; тогда с = в × 10 к + r .

Умножим а на 10 с таким показателем степени сколько цифр в предпериоде, т.е. на 10 n , получим:

а ×10 n = + .

Учитывая введенные выше обозначения запишем:

а× 10 n = в + .

Итак, сформулированное выше правило доказано для любой смешанной периодической дроби.

Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является формой записи некоторого рационального числа.

В целях однообразия иногда конечную десятичную дробь также считают бесконечной периодической десятичной дробью с периодом «нуль». Например, 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3,000... .

Теперь становится справедливым такое утверждение: всякое рациональное число можно (и притом единственным образом) выразить бесконечной десятичной периодической дробью и всякая бесконечная периодическая десятичная дробь выражает ровно одно рациональное число (периодические десятичные дроби с периодом 9 при этом не рассматриваются).